Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，如果存在正實數(shù)k，使對任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）在D上的“k階增函數(shù)”．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，x＞0時，f（x）=|x-a|-a，其中a為正常數(shù)，若f（x）為R上的“2階增函數(shù)”，
則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

Answer 1

分析：由題意可以得到f(x)=

|x-a|-a，x＞0 -|x+a|+a，x＜0

，再由定義存在正實數(shù)k，使對任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）為D上的“k階增函數(shù)”．對所給的問題分自變量全為正，全為負(fù)，一正一負(fù)三類討論，求出參數(shù)所滿足的共同范圍即可．

解答：解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
且當(dāng)x＞0時，f（x）=|x-a|-a，
∴f(x)=

|x-a|-a，x＞0 -|x+a|+a，x＜0

，
又f（x）為R上的“2階增函數(shù)”，
當(dāng)x＞0時，由定義有|x+2-a|-a＞|x-a|-a，
即|x+2-a|＞|x-a|，其幾何意義為到點(diǎn)a小于到點(diǎn)a-2的距離，
由于x＞0故可知a+a-2＜0得a＜1．
當(dāng)x＜0時，分兩類研究：
①若x+2＜0，則有-|x+2+a|+a＞-|x+a|+a，
即|x+a|＞|x+2+a|，其幾何意義表示到點(diǎn)-a的距離小于到點(diǎn)-a-2的距離，
由于x＜0，故可得-a-a-2＞0，得a＜-1；
②若x+2＞0，則有|x+2-a|-a＞-|x+a|+a，
即|x+a|+|x+2-a|＞2a，其幾何意義表示到到點(diǎn)-a的距離與到點(diǎn)a-2的距離的和大于2a，
當(dāng)a≤0時，顯然成立，
當(dāng)a＞0時，由于|x+a|+|x+2-a|≥|-a-a+2|=|2a-2|，
故有|2a-2|＞2a，必有2-2a＞2a，解得a＜

1

2

，
綜上，對x∈R都成立的實數(shù)a的取值范圍是a＜

1

2

．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的奇函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式，理解本題中所給的定義，以及根據(jù)函數(shù)解析式對問題分為三部分來求解，最后求出三部分中的公共部分的取值范圍作為實數(shù)a的取值范圍是本題中的一個疑點(diǎn)，也是易錯點(diǎn)，一般分類求解都是求并集，而本題因為是研究的定義域各個部分上成立的參數(shù)的范圍，故在整個定義域上都成立的參數(shù)的范圍應(yīng)該是三部分中都成立的范圍的公共部分，對此邏輯關(guān)系一定要理解清楚．題后可以找一些分類討論的題對比著題設(shè)條件好好理解領(lǐng)會一下．