【題目】如圖，以，為頂點作正三角形，再以和的中點為頂點作正三角形，再以和的中點為頂點作正三角形，，如此繼續(xù)下去.有如下結論：

①所作的正三角形的邊長構成公比為的等比數(shù)列；

②每一個正三角形都有一個頂點在直線上；

③第六個正三角形的不在第五個正三角形邊上的頂點的坐標是；

④第個正三角形的不在第個正三角形邊上的頂點的橫坐標是，則.

其中正確結論的序號是___________.（把你認為正確結論的序號都填上）

【答案】①②③④

【解析】

根據(jù)規(guī)律可判斷①②真假，結合圖形求出點的坐標，可判斷③真假，求出第個正三角形的不在第個正三角形邊上的頂點的橫坐標是，然后求極限可得結論.

解：由題意可得，每一個正三角形的邊長都是上一個正三角形邊長的，故①正確；

根據(jù)圖形的規(guī)律可知每一個正三角形都有一個頂點在直線上，故②正確；

第六個正三角形的邊長為，故頂點的橫坐標為，的縱坐標為

，從而頂點的縱坐標為，故③正確；

第個正三角形的不在第個正三角形邊上的頂點的橫坐標是，

，，，，，通過圖象可得，故④正確.

故答案為：①②③④.

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