12．求證：1•${A}_{1}^{1}$+2${•A}_{2}^{2}$+3${•A}_{3}^{3}$+…+（n-1）${A}_{n-1}^{n-1}$=n!-1．

分析 根據(jù)An+1n+1-Ann=nAnn對式子進行化簡，即可證明1A11+2A22+3A33+…+nAnn=n!-1．

解答 證明：∵n${A}_{n}^{n}$=n•n!=（n+1）!-n!=${A}_{n+1}^{n+1}$-${A}_{n}^{n}$，
∴1•${A}_{1}^{1}$+2${•A}_{2}^{2}$+3${•A}_{3}^{3}$+…+（n-1）${A}_{n-1}^{n-1}$
=（A22-A11）+（A33-A22）+…+（Ann-An-1n-1）
=Ann-A11
=n!-1．

點評 本題考查了排列數(shù)公式的應用問題，利用公式An+1n+1-Ann=nAnn對式子進行化簡是解題的關鍵，是基礎題目．

練習冊系列答案
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