Question

12．求證：1•${A}_{1}^{1}$+2${•A}_{2}^{2}$+3${•A}_{3}^{3}$+…+（n-1）${A}_{n-1}^{n-1}$=n!-1．

Answer 1

分析 根據(jù)A_n+1ⁿ⁺¹-A_nⁿ=nA_nⁿ對式子進行化簡，即可證明1A₁¹+2A₂²+3A₃³+…+nA_nⁿ=n!-1．

解答 證明：∵n${A}_{n}^{n}$=n•n!=（n+1）!-n!=${A}_{n+1}^{n+1}$-${A}_{n}^{n}$，
∴1•${A}_{1}^{1}$+2${•A}_{2}^{2}$+3${•A}_{3}^{3}$+…+（n-1）${A}_{n-1}^{n-1}$
=（A₂²-A₁¹）+（A₃³-A₂²）+…+（A_nⁿ-A_n-1^n-1）
=A_nⁿ-A₁¹
=n!-1．

點評 本題考查了排列數(shù)公式的應用問題，利用公式A_n+1ⁿ⁺¹-A_nⁿ=nA_nⁿ對式子進行化簡是解題的關鍵，是基礎題目．