若在邊長為1的正三角形△ABC的邊BC上有n（n∈N*，n≥2）等分點，沿向量
BC
的方向依次為P1，P2，…Pn-1記Tn=
AB
•
AP1
+
AP1
•
AP2
+…+
APn-1
•
AC
，則Tn的值不可能是（　�。�
A、
13
4
B、
41
10
C、
89
18
D、
232
33
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應用
分析：利用平面向量的數(shù)量積運算求得
APk
•
APk+1
=1+
k2+k
n2
-
2k+1
2n
（k=1，2，…，n-1，k∈N），再由數(shù)列的求和知識即可得到Tn，再對選項加以判斷，解方程即可得到．
解答： 解：
APk
•
APk+1
=（
AB
+k
BP1
）•（
AB
+（k+1）
BP1
）=
AB
2+k（k+1）
BP1
2（2k+1）
AB
•
BP1

=1+
k2+k
n2
-
2k+1
2n
（k=1，2，…，n-1，k∈N），
則Tn=
AB
•
AP1
+
AP1
•
AP2
+…+
APn-1
•
AC
=
AB
•（
AB
+
BP1
）+（n-1）+
(1+2+…+n-1)+[12+22+…+(n-1)2]
n2
-
3+5+…+(2n-1)
2n

=1-
1
2n
+n-1+
1
2
n(n-1)+
1
6
n(n-1)(2n-1)
n2
-
(n-1)(n+1)
2n

=
5n2-2
6n
．
若
5n2-2
6n
=
13
4
，則解得，n=4，若
5n2-2
6n
=
41
10
，則解得，n=5，
若
5n2-2
6n
=
89
18
，則解得，n=6，若
5n2-2
6n
=
232
33
，則無整數(shù)解．
故選D．
點評：本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運算及數(shù)列求和的知識，考查學生的運算求解能力，屬難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知全集U=R，函數(shù)f（x）=log3（x2+x-2）的定義域為A，關于x的不等式|x-2|＞a的解集為B．
（Ⅰ）若命題：x∈B是命題x∈A成立的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若A∪B=U，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，F(xiàn)為CD的四分之一點，設
AC
=m
AE
+N
AF
，則m+n=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-2|x|．
（1）畫出該函數(shù)的圖象；
（2）求出函數(shù)的最值；
（3）若函數(shù)y=m的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象有四個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一底面半徑為rcm，高為hcm的倒立圓錐容器，若以ncm3∕s的速率向容器內(nèi)注水，求液面高度的瞬時變化率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖是從上下底面處在水平狀態(tài)下的棱長為1m的正方體ABCD-A1B1C1D1中分離出來的．如果用圖示中這樣一個裝置來盛水，那么最多能盛
 
m3體積的水．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線ax-y+5=0與圓C：x2+y2=9相較于不同兩點A，B
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在是實數(shù)a，使得過點P（-2，1）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=
3
cos2ωx+sinωxcosωx（ω，a∈R），已知f（x）的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為
π
6
．
（1）求ω的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象按向量
b
=（
π
6
，
3
2
）平移后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）在區(qū)間[0，
π
2
]的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

易知n2=1+2+3+…+n+（n-1）+…+2+1，故有13=1，23=2•22=2（1+2+1）=2+4+2；33=3•32=3（1+2+3+2+1）=3+6+9+6+3，…，這些通過分拆得到的數(shù)可組成數(shù)陣認真觀察數(shù)陣，可以求出和式S=13+23+33+…+203的值為
 
．

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