Question

5．雙曲線C的左、右焦點分別為F₁F₂，動點M在雙曲線C的右支上，若所有的等腰三角形MF₁F₂均為銳角三角形，則雙曲線C的離心率取值范圍為（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}+1$）
• B． （$\sqrt{2}+1，+∞$）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}+1$）

Answer 1

分析 由題意可得若|MF₁|=|F₁F₂|，三角形MF₁F₂為銳角三角形恒成立；若|MF₂|=|F₁F₂|，三角形MF₁F₂為銳角三角形，即有cos∠F₁F₂M＞0，由余弦定理和雙曲線的定義，結(jié)合離心率公式解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：由等腰三角形MF₁F₂均為銳角三角形，可得：
若|MF₁|=|F₁F₂|，三角形MF₁F₂為銳角三角形恒成立；
若|MF₂|=|F₁F₂|，三角形MF₁F₂為銳角三角形，即有：
cos∠F₁F₂M＞0，由余弦定理可得：
|MF₂|²+|F₁F₂|²-|MF₁|²＞0，
設(shè)|MF₂|=t=2c，由雙曲線的定義可得|MF₁|=2a+2c，
即有4c²+4c²-（2c+2a）²＞0，
化簡為c²-a²-2ac＞0，由e=$\frac{c}{a}$，可得：
e²-2e-1＞0，
解得e＞1+$\sqrt{2}$，（由e＞1）．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意雙曲線的定義的運用和余弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．