Question

4．如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，△ABD≌△PBD，可以理解為△PBD是由△ABD繞著BD旋轉得到的，對于每段固定的AD，底面積BCD為定值，要使得體積最大，△PBD必定垂直于平面ABC，此時高最大，體積也最大．

解答 解：如圖，M是AC的中點．
①當AD=t＜AM=$\sqrt{3}$時，如圖，此時高為P到BD的距離，也就是A到BD的距離，即圖中AE，
DM=$\sqrt{3}$-t，由△ADE∽△BDM，可得$\frac{h}{1}=\frac{t}{\sqrt{（\sqrt{3}-t）^{2}+1}}$，∴h=$\frac{t}{\sqrt{（\sqrt{3}-t）^{2}+1}}$，
V=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•（2\sqrt{3}-t）•1•$$\frac{t}{\sqrt{（\sqrt{3}}-t）^{2}+1}$=$\frac{1}{6}•$$\frac{3-（\sqrt{3}-t）^{2}}{\sqrt{（\sqrt{3}-t）^{2}+1}}$，t∈（0，$\sqrt{3}$）
②當AD=t＞AM=$\sqrt{3}$時，如圖，此時高為P到BD的距離，也就是A到BD的距離，即圖中AH，
DM=t-$\sqrt{3}$，由等面積，可得$\frac{1}{2}•AD•BM=\frac{1}{2}•BD•AH$，∴$\frac{1}{2}•t•1=\frac{1}{2}\sqrt{（t-\sqrt{3}）^{2}+1}$，
∴h=$\frac{t}{\sqrt{（\sqrt{3}-t）^{2}+1}}$，
∴V=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•（2\sqrt{3}-t）•1•$$\frac{t}{\sqrt{（\sqrt{3}}-t）^{2}+1}$=$\frac{1}{6}•$$\frac{3-（\sqrt{3}-t）^{2}}{\sqrt{（\sqrt{3}-t）^{2}+1}}$，t∈（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）
綜上所述，V=$\frac{1}{6}•$$\frac{3-（\sqrt{3}-t）^{2}}{\sqrt{（\sqrt{3}-t）^{2}+1}}$，t∈（0，2$\sqrt{3}$）
令m=$\sqrt{（\sqrt{3}-t）^{2}+1}$∈[1，2），則V=$\frac{1}{6}•\frac{4-{m}^{2}}{m}$，∴m=1時，V_max=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查體積最大值的計算，考查學生轉化問題的能力，考查分類討論的數(shù)學思想，對思維能力和解題技巧有一定要求，難度大．