Question

已知f（x）為奇函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），當(dāng)-2≤x≤0時，f（x）=2^x，則f（2013）=

1

2

．

Answer 1

分析：由f（x）為奇函數(shù)可得，f（-x）=-f（x），且f（2+x）=f（2-x），則可得f（x+8）=f（x），則f（2 013）=f（5）=f（-1），代入即可求得答案．

解答：解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
又∵f（2+x）=f（2-x），
∴f（4+x）=f（-x）=-f（x）
∴f（x+8）=-f（x+4）=f（x），
∴f（x）是周期為8的函數(shù)，
∴f（2 013）=f（251×8+5）=f（5），
∵f（2+x）=f（2-x），令x=3，則有f（5）=f（-1），
∵當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=2^x，
∴f（-1）=2^-1=

1

2

，
∴f（2013）=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題主要考查了奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用及函數(shù)的對稱性和周期性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由已知奇偶性和對稱性求出函數(shù)的周期為．注意一般結(jié)論的記憶：若函數(shù)關(guān)于（a，0）對稱，又關(guān)于直線x=b對稱，則函數(shù)是以4|b-a|為周期的周期函數(shù)．屬于基礎(chǔ)題．