Question

設(shè)x∈（0，

π

2

）且1+（3-λ）sinxcosx+3cos²x≥0恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由條件可得 3-λ≥-（tanx+4cotx）恒成立，利用基本不等式求得tanx+4cotx的最小值為4，可得-（tanx+4cotx）的最大值為-4，可得3-λ≥-4，從而求得λ的范圍．

解答： 解：由條件可得 3-λ≥-

1+3cos2x

sinxcosx

=-

sin2x+4cos2x

sinxcosx

=-（tanx+4cotx）恒成立．
由x∈（0，

π

2

），可得tanx＞0，cotx＞0，∴由基本不等式可得tanx+4cotx≥4，
即tanx+4cotx的最小值為4，即-（tanx+4cotx）的最大值為-4，
∴3-λ≥-4，∴λ≤7，
故答案為：（-∞，7]．

點評：本題主要考查求三角函數(shù)的最值，基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．