Question

已知a₁=0，a_n+1=ca_n+

cn+1

n(n+1)

，c≠0，n∈N^*．
（I ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)：
（II）若對任意，n∈N^*，a_n+1＞a_n恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=ca_n+

cn+1

n(n+1)

，知

an

cn

=

a1

c1

+（

a2

c2

-

a1

c1

）+（

a3

c3

-

a2

c2

）+…+（

an

cn

-

an-1

cn-1

）=0+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．
（Ⅱ）a_n+1＞a_n即

n

n+1

cⁿ⁺¹＞

n-1

n

cⁿ．當(dāng)c＜0時(shí)，上面不等式顯然不恒成立；當(dāng)c＞0時(shí)，上面不等式等價(jià)于c＞

n2-1

n2

=1-

1

n2

，由此能求出c的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=ca_n+

cn+1

n(n+1)

，∴

an+1

cn+1

=

an

cn

+

1

n(n+1)

，

an+1

cn+1

-

an

cn

=

1

n

-

1

n+1

．
∴

an

cn

=

a1

c1

+（

a2

c2

-

a1

c1

）+（

a3

c3

-

a2

c2

）+…+（

an

cn

-

an-1

cn-1

）=0+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

，
∴a_n=

n-1

n

cⁿ．（6分）
（Ⅱ）a_n+1＞a_n即

n

n+1

cⁿ⁺¹＞

n-1

n

cⁿ．
當(dāng)c＜0時(shí)，上面不等式顯然不恒成立；
當(dāng)c＞0時(shí)，上面不等式等價(jià)于c＞

n2-1

n2

=1-

1

n2

．（9分）
1-

1

n2

是n的增函數(shù)，

lim

n→∞

（1-

1

n2

）=1，∴c≥1．
綜上，c的取值范圍是c≥1．（12分）

點(diǎn)評：本題考查利用累加法求解函數(shù)的通項(xiàng)公式和借助極限知識求解參數(shù)的取值范圍，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．