Question

已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關(guān)于X的方程．x²-3ⁿx+b_n=0的兩根，設c_n=，且a₁=1．
（I）求數(shù)列{c_n}的通項公式；
（II）設S_n是數(shù)列{a_n}的前〃項的和，問是否存在常數(shù)λ，使得b_n-λS_n＞0對任意n∈N都成立，若存在，求出A的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）由于a_n，a_n+1是關(guān)于X的方程．x²-3ⁿx+b_n=0的兩根，所以，所以
∵c_n=，∴，∴，又，
所以列 是首項為 ，公比為的等比數(shù)列，∴
（II）由題意，，∴，
①當n為正奇數(shù)時，由上式得對任意正奇數(shù)n都成立，∴λ＜2
②當n為正偶數(shù)時，由上式得對任意正偶數(shù)n都成立，∴

綜上所述得，存在常數(shù)λ，使得b_n＞λS_n對?n∈N^*都成立，λ的取值范圍為λ＜2
分析：（I）由于a_n，a_n+1是關(guān)于X的方程．x²-3ⁿx+b_n=0的兩根，所以從而得出數(shù)列 是首項為 ，公比為的等比數(shù)列，故可求{c_n}的通項公式；
（II） 要使b_n-λS_n＞0，對?n∈N^*都成立，下面對n進行分類討論：①當n為正奇數(shù)時，②當n為正偶數(shù)時，分別求得λ的取值范圍，最后綜上所述得到，存在常數(shù)λ，使得b_n-λS_n＞0對?n∈N^*都成立，λ的取值范圍．
點評：本小題主要考查等比關(guān)系的確定、數(shù)列的求和、不等式的解法、數(shù)列與函數(shù)的綜合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．