Question

13．已知雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率是2．

Answer 1

分析 可令x=c，代入雙曲線的方程，求得y=±$\frac{^{2}}{a}$，再由題意設(shè)出A，B，C，D的坐標(biāo)，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，運用離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：令x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
由題意可設(shè)A（-c，$\frac{^{2}}{a}$），B（-c，-$\frac{^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{^{2}}{a}$），D（c，$\frac{^{2}}{a}$），
由2|AB|=3|BC|，可得
2•$\frac{2^{2}}{a}$=3•2c，即為2b²=3ac，
由b²=c²-a²，e=$\frac{c}{a}$，可得2e²-3e-2=0，
解得e=2（負的舍去）．
故答案為：2．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用方程的思想，正確設(shè)出A，B，C，D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，考查運算能力，屬于中檔題．