已知函數(shù)f(x)=.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值、最小值;
(Ⅱ)求證:在區(qū)間(1,上函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)=
圖像的下方;
(Ⅲ)請你構(gòu)造函數(shù)(x),使函數(shù)F(x)=f(x)+
(x)在定義域(0,
上,存在兩個極值點(diǎn),并證明你的結(jié)論.
解:(Ⅰ)
∵x>0, ∴>0,∴f(x)在(0,+¥)上是單調(diào)遞增函數(shù),
∴f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值為f(e)=,最小值為f(1)=
(Ⅱ)證明:設(shè)G(x)=g(x)-f(x),則G(x)=,
=
=
,
當(dāng)x時,顯然有
,
∴G(x)在區(qū)間(1,上是單調(diào)增函數(shù),
∴G(x)>G(1)=>0在(1,
上恒成立,即g(x)>f(x)在(1,
上恒成立,
∴在區(qū)間(1,上函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)=
圖像的下方.
(Ⅲ)令(x)=-
x,則F(x)=
-
x(x>0),
令,得x=
,或x=2,令
得,0<x<
,或x>2,令
得,
<x<2
∴當(dāng)(x)=-
x時,
函數(shù)F(x)=f(x)+(x)在定義域(0,
上,存在兩個極值點(diǎn)x1=
,x2=2.
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