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14.四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面SBC⊥底面ABCD,已知:∠ABC=45°,AB=2,BC=22,SB=SC,直線(xiàn)SA與平面ABCD所成角為45°,O為BC的中點(diǎn).
(1)證明:SA⊥BC
(2)求四棱錐S-ABCD的體積.

分析 (1)連結(jié)AC,AO,SO,利用余弦定理求出AC=2,則AC=BC,由三線(xiàn)合一可得AO⊥BC,SO⊥BC,于是BC⊥平面SAO,從而B(niǎo)C⊥SA;
(2)根據(jù)勾股定理求出AO,由∠SAD=45°得出SO=AO,代入棱錐的體積公式計(jì)算即可.

解答 解:(1)連結(jié)AC,AO,SO.
在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB•BC•COS∠ABC=4,
∴AC=2,∴AB=AC,
又∵SB=SC,O為BC的中點(diǎn),
∴SO⊥BC,AO⊥BC,又,SO?平面SAO,AO?平面SAO,SO∩AO=O,
∴BC⊥平面SOA,又SA?平面SOA,
∴SA⊥BC.
(2)∵平面SBC⊥平面ABCD,平面SBC∩平面ABCD=BC,SO⊥BC,SO?平面SBC,
∴SO⊥平面ABCD,
∴∠SAO為直線(xiàn)SA與底面ABCD所成的角,即∠SAO=45°,
∵OB=12BC=2,∴AO=AB2OB2=2,∴SO=AO=2,
∴VS-ABCD=13SABCDSO=13×2×22×2=423

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面垂直的性質(zhì)與判定,棱錐的體積計(jì)算,構(gòu)造平面SOA是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.

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