Question

已知數(shù)列{a_n}與圓C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0和圓C₂：x²+y²+2x+2y-2=0，若圓C₁與圓C₂交于A，B兩點(diǎn)且這兩點(diǎn)平分圓C₂的周長(zhǎng)．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若a₁=-3，則當(dāng)圓C₁的半徑最小時(shí)，求出圓C₁的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的一般方程,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,直線與圓

分析：（1）首先把圓的一般式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式，進(jìn)一步利用特殊位置關(guān)系求出關(guān)系式，最后求的結(jié)論．
（2）利用二次函數(shù)的最值問題求得圓的方程．

解答： 解：（1）圓C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0轉(zhuǎn)化為：(x-an)2+(y+an+1)2=an2+an+12+1，
圓心坐標(biāo)為：（a_n，a_n+1），半徑為：

an2+an+12+1

，
圓C₂，（x+1）²+（y+1）²=4，圓心坐標(biāo)為：（-1，-1），半徑為2，
圓C₁與圓C₂交于A，B兩點(diǎn)且這兩點(diǎn)平分圓C₂的周長(zhǎng)．
則：|C1C2|2+r22=r12，
即：(an+1)2+(an+1-1)2+4=an2+an+12+1，
求得：an+1-an=

5

2

（常數(shù)），
所以：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
（2）由于a₁=-3，
根據(jù)（1）的結(jié)論求得：an=

5

2

n-

11

2

，
r=

an2+an+12+1

=

1

2

50n2-170n+161

，
當(dāng)n=2時(shí)，r最小，所得的圓的方程為：x²+y²+x+4y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：圓的一般式與頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化，等差數(shù)列定義的應(yīng)用，二次函數(shù)最小值問題的應(yīng)用．屬于中等題型．