Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）對(duì)于實(shí)數(shù)x∈[0，π]，定義符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則方程[2sinx]=[

3

]的解集是

[

π

6

，

π

2

)∪(

π

2

，

5π

6

]

；又方程[2sinx]=[x]的解集是

[0，

π

6

)∪[1，

π

2

)∪(

π

2

，2)

．

Answer 1

分析：（1）由新定義可得：[

3

]=1，于是方程[2sinx]=[

3

]可化為[2sinx]=1，進(jìn)而得出2sinx 的取值范圍，再結(jié)合已知條件x∈[0，π]，求出即可．
（2）對(duì)實(shí)數(shù)x∈[0，π]，進(jìn)行恰當(dāng)分類討論即可．

解答：解：（1）∵[

3

]=1，∴[2sinx]=1，∴1≤2sinx＜2，
∴

1

2

≤sinx＜1，又實(shí)數(shù)x∈[0，π]，解得x∈[

π

6

，

π

2

)∪(

π

2

，

5π

6

]，
∴方程[2sinx]=[

3

]的解集是[

π

6

，

π

2

)∪(

π

2

，

5π

6

]．
故答案為[

π

6

，

π

2

)∪(

π

2

，

5π

6

]．
（2）對(duì)實(shí)數(shù)x∈[0，π]，進(jìn)行以下分類：
①當(dāng)0≤x＜1時(shí)，[x]=0，[2sinx]=0，∴0≤2sinx＜1，∴0≤sinx＜

1

2

，及0≤x＜1，解得0≤x＜

π

6

；
②當(dāng)1≤x＜2時(shí)，[x]=1，[2sinx]=1，∴1≤2sinx＜2，∴

1

2

≤sinx＜1，及1≤x＜2，解得1≤x＜

π

2

，或

π

2

＜x＜2；
③當(dāng)x=2時(shí)，2sinx＜2，[2]=2，∴2不是方程[2sinx]=[x]的解；
④當(dāng)2＜x≤π時(shí)，2sinx＜2sin

π

2

=2，[x]≥2，此時(shí)方程[2sinx]=[x]無(wú)解．
綜上可知：方程[2sinx]=[x]的解集是[0，

π

6

)∪[1，

π

2

)∪(

π

2

，2)．
故答案為[0，

π

6

)∪[1，

π

2

)∪(

π

2

，2)．

點(diǎn)評(píng)：理解新定義和對(duì)x正確分類討論是解題的關(guān)鍵．