Question

已知函數f（x）=ax³+

2-3a

2

x2+bx（a，b為常數）
（1）若y=f（x）的圖象在x=2處的切線方程為x-y+6=0，求函數f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數y=f（x）的圖象與y=-

1

2

[f′（x）-9x-3]+m的圖象交點的個數；
（3）當a=1時，?x∈（0，+∞），lnx≤f'（x）恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求函數的導數，根據導數的幾何意義即可求函數f（x）的解析式；
（2）求出函數的導數，求出函數的極值即可
（3）將不等式恒成立轉化為求函數的最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得f′（x）=3ax²+（2-3a）x+b，由題知
∵y=f（x）的圖象在x=2處的切線方程為x-y+6=0，
∴

f′(2)=1 f(2)=8

，即

12a+4-6a+b=1 8a+4-6a+2b=8

，解得a=-1，b=3．
則f（x）=-x³+

5

2

x2+3x．
（Ⅱ）由f（x）=-x³+

5

2

x2+3x，可得f′（x）=-3x²+5x+3，
則y=-

1

2

[f′（x）-9x-3]+m=-

1

2

（-3x²+5x+3-9x-3）+m=

3

2

x2+2x+m，
則由題意函數f（x）的圖象與y=-

1

2

[f′（x）-9x-3]+m的圖象交點的個數等價于方程-x³+

5

2

x2+3x=

3

2

x2+2x+m實根的個數，
即m=-x³+x²+x根的個數．
等價于g（x）=-x³+x²+x的圖象與直線y=m的交點個數，…（6分）
g′（x）=-3x²+2x+1=-（x-1）（3x+1），
由g′（x）＞0，解得-

1

3

＜x＜1，此時函數遞增，
由g′（x）＜0，解得x＜-

1

3

或x＞1，此時函數遞減．
則函數g（x）的極小值為g（-

1

3

）=-

5

27

，極大值為g（1）=1…（8分）
根據上面的討論，作出g（x）=-x³+x²+x的大致圖象與直線y=m的位置如圖，由圖知，
當-

5

27

＜m＜1時，函數f（x）的圖象與y=-

1

2

[f′（x）-9x-3]+m的圖象有三個不同交點；
當m=-

5

27

或m=1時，函數f（x）的圖象與y=-

1

2

[f′（x）-9x-3]+m的圖象有兩個不同交點；
當m＜-

5

27

或m＞1時，函數f（x）的圖象與y=-

1

2

[f′（x）-9x-3]+m的圖象有1個交點．…（10分）
（Ⅲ）當a=1時，f（x）=-x³-

1

2

x2+bx，f′（x）=3x²-x+b，
若，?x∈（0，+∞），lnx≤f′（x）恒成立，等價于lnx≤3x²-x+b，
即b≥lnx-3x²+x在（0，+∞）上恒成立，
令h（x）=lnx-3x²+x，只需b≥h（x）_max．
h′（x）=

1

x

-6x+1=-

6x2-x-1

x

=-

(2x-1)(3x+1)

x

，
故當x∈（0，

1

2

）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增；
當x∈（

1

2

，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞增．
∴h（x）_max=h（

1

2

）=-ln2-

1

4

，
∴b≥-ln2-

1

4

，
因此b的范圍是[-ln2-

1

4

，+∞）．

點評：本題主要考查導數的綜合應用，涉及的知識點有導數的幾何意義以及函數極值和導數之間的關系，利用導數求函數的最值，綜合性較強，運算量較大．