Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x，a∈R
（Ⅰ）若x=3是f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）是[-2，2]上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，直接由f′（1）=0求解a的值，最后利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定函數(shù)的極值點(diǎn)，代入原函數(shù)，求出極值即可；
（Ⅱ）將問題轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0在[-2，2]上恒成立，利用分類討論的思想進(jìn)行參變量分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，求解即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-ax²+3x，a∈R，
∴f'（x）=3x²-2ax+3，
∵x=3是f（x）的極值點(diǎn)，
∴f'（3）=30-6a=0，解得a=5，
∴f（x）=x³-5x²+3x，f'（x）=3x²-10x+3，
令f′（x）=0，解得x=

1

3

或x=3，
∴f（x）在（-∞，

1

3

）上單調(diào)遞增，在（

1

3

，3）上單調(diào)遞減，在（3，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=

1

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值f（

1

3

）=

13

27

，
當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值f（3）=-9；
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）是[-2，2]上的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f′（x）=3x²-2ax+3≥0在[-2，2]上恒成立，即2ax≤3x²+3在[-2，2]上恒成立，
①當(dāng)x=0時(shí)，0≤3恒成立，符合題意；
②當(dāng)0＜x≤2時(shí)，a≤

3

2

(x+

1

x

)在0＜x≤2上恒成立，即a≤[

3

2

(x+

1

x

)]_min，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，x+

1

x

≥2（當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），
∴a≤3；
③當(dāng)-2≤x＜0時(shí)，a≥

3

2

(x+

1

x

)在-2≤x＜0上恒成立，即a≤[

3

2

(x+

1

x

)]_max，
∵當(dāng)x＜0時(shí)，x+

1

x

≤-2(當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào))，
∴a≥-3．
綜合①②③，實(shí)數(shù)a的取值范圍為-3≤a≤3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，同時(shí)考查了已知函數(shù)的單調(diào)性可以轉(zhuǎn)化為恒成立問題，對(duì)于恒成立問題一般選用參變量分離的方法進(jìn)行求解，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．