已知橢圓M的對稱軸為坐標(biāo)軸,且(0,-
2
)是橢圓M的一個焦點(diǎn),又點(diǎn)A(1,
2
)在橢圓M上.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)已知直線l的斜率是
2
,若直線l與橢圓M交于B、C兩點(diǎn),求△ABC面積的最大值.
分析:(Ⅰ)設(shè)出橢圓方程,代入A的坐標(biāo),即可求橢圓M的方程;
(Ⅱ)設(shè)出直線BC的方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理計算弦長,求出點(diǎn)A到BC的距離,可得三角形的面積,利用基本不等式,即可求得最值.
解答:解:(Ⅰ)由已知拋物線的焦點(diǎn)為(0,-
2
),故設(shè)橢圓方程為
y2
a2
+
x2
a2-2
=1

將點(diǎn)A(1,
2
)代入方程得
2
a2
+
1
a2-2
=1
,整理得a4-5a2+4=0,
解得a2=4或a2=1(舍).
故所求橢圓方程為
y2
4
+
x2
2
=1

(Ⅱ)設(shè)直線BC的方程為y=
2
x+m
,設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2
代入橢圓方程并化簡得4x2+2
2
mx+m2-4=0
,
由△=8m2-16(m2-4)>0,可得m2<8①
x1+x2=-
2
2
m,x1x2=
m2-4
4
,
故|BC|=
3
|x1-x2|
=
3
16-2m2
2

又點(diǎn)A到BC的距離為d=
|m|
3
,
故S△ABC=
1
2
|BC|d
=
m2(16-2m2)
4
1
4
2
2m2+(16-2m2)
2
=
2
,
當(dāng)且僅當(dāng)2m2=16-2m2,即m=±2時取等號(滿足①式)
所以△ABC面積的最大值為
2
點(diǎn)評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查三角形面積的計算,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓M的對稱軸為坐標(biāo)軸,且拋物線x2=-4
2
y
的焦點(diǎn)是橢圓M的一個焦點(diǎn),又點(diǎn)A(1,
2
)
在橢圓M上.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)已知直線l的方向向量為(1,
2
)
,若直線l與橢圓M交于B、C兩點(diǎn),求△ABC面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•昌平區(qū)一模)已知橢圓M的對稱軸為坐標(biāo)軸,離心率為
2
2
,且拋物線y2=4
2
x
的焦點(diǎn)是橢圓M的一個焦點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓M相交于A、B兩點(diǎn),以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中點(diǎn)P在橢圓M上,O為坐標(biāo)原點(diǎn).求點(diǎn)O到直線l的距離的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣西南寧市武鳴高中、潯州高中高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓M的對稱軸為坐標(biāo)軸,且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓M的一個焦點(diǎn),又點(diǎn)A在橢圓M上.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)已知直線l的方向向量為,若直線l與橢圓M交于B、C兩點(diǎn),求△ABC面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年河南省周口市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓M的對稱軸為坐標(biāo)軸,且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓M的一個焦點(diǎn),又點(diǎn)A在橢圓M上.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)已知直線l的方向向量為,若直線l與橢圓M交于B、C兩點(diǎn),求△ABC面積的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案