Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax²-4ln（x-1），a∈R
（1）若$a=\frac{1}{2}$，求曲線f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）已知點P（1，1）和函數(shù)f（x）圖象上的動點M（mf（m）），對任意m∈[2，e+1]，直線PM傾斜角都是鈍角，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把$a=\frac{1}{2}$代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，得到f′（2）與f（2），代入直線方程的點斜式得答案；
（2）若對任意m∈[2，e+1]，直線PM傾斜角都是鈍角，則f（x）在[2，e+1]上的最大值小于1，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，f′（x）=$\frac{2（a{x}^{2}-ax-2）}{x-1}$，x∈（1，+∞）．
構(gòu)造函數(shù)g（x）=ax²-ax-2，對a分類，然后借助于二次函數(shù)的性質(zhì)分析f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，進(jìn)一步求出f（x）在（1，+∞）上的最大值，由最大值小于1求得a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-4ln（x-1），則f（2）=2，
∵f′（x）=x-$\frac{4}{x-1}$，∴f′（2）=-2．
則所求的切線方程為y-2=-2（x-2），即2x+y-6=0；
（2）若對任意m∈[2，e+1]，直線PM傾斜角都是鈍角，
則f（x）在[2，e+1]上的最大值小于1，
f′（x）=2ax-$\frac{4}{x-1}$=$\frac{2（a{x}^{2}-ax-2）}{x-1}$，x∈（1，+∞）．
令g（x）=ax²-ax-2，
當(dāng)a=0時，f（x）=-4ln（x-1）在[2，e+1]上單調(diào)遞減，
f（x）_max=f（2）=0＜1，顯然成立，∴a=0；
當(dāng)a＜0時，二次函數(shù)g（x）的圖象開口向下，且g（0）=-2，g（1）=-2，
?x∈（1，+∞），g（x）＜0，故f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
故f（x）在[2，e+1]上單調(diào)遞減，f（x）_max=f（2）=4a＜1，顯然成立，∴a＜0；
當(dāng)a＞0時，二次函數(shù)g（x）的圖象開口向上，且g（0）=-2，g（1）=-2，
則存在x₀∈（1，+∞），當(dāng)x∈（1，x₀）時，g（x）＜0，當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，g（x）＞0．
∴f（x）在（1，+∞）內(nèi)先減后增，
故f（x）在[2，e+1]上的最大值只能是f（2）或f（c+1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）＜1}\\{f（c+1）＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4a＜1}\\{a（c+1）^{2}-4＜1}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{1}{4}$．
綜上，a＜$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查推理論證能力與計算能力，是壓軸題．