Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a（a∈R且a＞-1），（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1）=10${\;}^{{2}^{n}}$^-1（n∈N^*且n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）當a=9時，記c_n=$\frac{1+lg[（{a}_{1}+1）（{a}_{2}+1）…（{a}_{n}+1）]}{[lg（{a}_{n+1}+1）-1]•[lg（{a}_{n+2}+1）-1]}$，設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n，求證：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）分n=1，n=2，n≥3三種情況討論，從而確定通項公式即可；
（2）可驗證a_n+1=$1{0}^{{2}^{n-1}}$，（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1）=10${\;}^{{2}^{n}}$^-1對任意n都成立，從而化簡c_n=$\frac{1+lg1{0}^{{2}^{n}-1}}{（lg1{0}^{{2}^{n}}-1）（lg1{0}^{{2}^{n+1}}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，從而證明得．

解答 解：（1）當n=1時，a₁+1=a+1＞0，
當n=2時，（a₁+1）（a₂+1）=10³，
故a₂+1=$\frac{1{0}^{3}}{a+1}$；
當n≥3時，（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1）=10${\;}^{{2}^{n}}$^-1，
（a₁+1）（a₂+1）…（a_n-1+1）=$1{0}^{{2}^{n-1}-1}$，
∴a_n+1=$\frac{1{0}^{{2}^{n}-1}}{1{0}^{{2}^{n-1}-1}}$=$1{0}^{{2}^{n-1}}$；
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a，n=1}\\{\frac{100}{a+1}-1，n=2}\\{1{0}^{{2}^{n-1}}-1，n≥3}\end{array}\right.$；
（2）證明：當a=9時，可驗證a_n+1=$1{0}^{{2}^{n-1}}$，
（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1）=10${\;}^{{2}^{n}}$^-1，
故c_n=$\frac{1+lg[（{a}_{1}+1）（{a}_{2}+1）…（{a}_{n}+1）]}{[lg（{a}_{n+1}+1）-1]•[lg（{a}_{n+2}+1）-1]}$
=$\frac{1+lg1{0}^{{2}^{n}-1}}{（lg1{0}^{{2}^{n}}-1）（lg1{0}^{{2}^{n+1}}-1）}$
=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$
=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
故S_n=（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＜1．證畢

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時考查了整體思想與裂項求和法的應(yīng)用，屬于中檔題．