Question

對于函數(shù)
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）探究函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調性，并用定義加以證明；
（3）當2＜a＜4時，求函數(shù)f（x）在[-3，-1]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）由a^x-1≠0，得x≠0，∴定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱．
∵，
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=-=，
①當0＜a＜1時，=1，∴＜0，，，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）單調遞增；
②當a＞1時，，∴，，，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）單調遞減．
綜上，當0＜a＜1時，f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)；當a＞1時，f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)．
（3）由（2）知：當2＜a＜4時，函數(shù)f（x）在[1，3]上是減函數(shù)，由（1）知：f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）在[-3，-1]上也為減函數(shù)，則．
分析：（1）先求函數(shù)f（x）的定義域看是否關于原點對稱，若對稱，再依據(jù)f（-x）與f（x）的關系作出判斷．
（2）先設0＜x₁＜x₂，再比較f（x₁）與f（x₂）的大小關系，依據(jù)定義作出判斷，其間要對a進行討論．
（3）本題可利用（1），（2）問的結論求出．
點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性，利用定義是解決該類問題的常用辦法．