Question

關(guān)于x的方程（2^x-1）²-（3k+2）|2^x-1|+1+2k=0有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：設(shè)t=|2^x-1|，則原方程轉(zhuǎn)化為t²-（3k+2）t+1+2k=0，然后利用一元二次方程與t的關(guān)系確定實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：設(shè)t=|2^x-1|，則原方程轉(zhuǎn)化為t²-（3k+2）t+1+2k=0．
由圖象可知，當t≥1時，t=|2^x-1|，有一個解．
當0＜t＜1時，t=|2^x-1|，有2個解，
當t=0時，t=|2^x-1|，有一個解．
所以要使關(guān)于x的方程（2^x-1）²-（3k+2）|2^x-1|+1+2k=0有三個不相等的實數(shù)根，
則方程t²-（3k+2）t+1+2k=0的根滿足
①t₁=0，0＜t₂＜1．或者②t₁＞1，0＜t₂＜1．
若t₁=0，則1+2k=0，解得k=-

1

2

，此時方程為t2-

1

2

t=0，對應(yīng)方程的根為t=0或t=

1

2

，滿足條件．
若t₁＞1，0＜t₂＜1．，設(shè)f（t）=t²-（3k+2）t+1+2k，
則有

f(0)＞0 f(1)＜0

，即

f(0)=1+2k＞0 f(1)=-k＜0

，所以解得k＞0．
綜上：實數(shù)k的取值范圍是{k|k=-

1

2

或k＞0}．
故答案為：{k|k=-

1

2

或k＞0}．

點評：本題主要考查函數(shù)與方程之間的關(guān)系，利用換元法和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，同時要熟練掌握一元二次函數(shù)根的分布，本題綜合性較強．