Question

在（2x-3y）¹⁰的展開(kāi)式中，求：
（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和；
（2）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；
（3）奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．

Answer 1

【答案】分析：（1）由（1+1）¹⁰=+…+可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和可得結(jié)果；
（3）設(shè)（2x-3y）¹⁰=+++…+，分別令x=y=1；x=1，y=-1可得兩式，聯(lián)立即可求得答案；
解答：解：（1）（2x-3y）¹⁰的二項(xiàng)式系數(shù)和為+…+=（1+1）¹⁰=2¹⁰；
（2）由于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，
所以，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為++…+=2⁹，
偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為++…=2⁹．
（3）設(shè)（2x-3y）¹⁰=+++…+，
令x=y=1，得到a+a₁+a₂+…a₁₀=1①，
令x=1，y=-1（或x=-1，y=1）得a-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀=5¹⁰②，
①+②得2（a+a₂+…a₁₀）=1+5¹⁰，∴奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為，
①-②得2（a₁+a₃+a₉）=1-5¹⁰，
∴偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬中檔題．