Question

新一屆中央領(lǐng)導(dǎo)集體非常重視勤儉節(jié)約，從“光盤行動(dòng)”到“節(jié)約辦春晚”．到飯店吃飯是吃光盤子或時(shí)打包帶走，稱為“光盤族”，否則稱為“非光盤族”．政治課上政治老師選派幾位同學(xué)組成研究性小組，從某社區(qū)[25，55]歲的人群中隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

組數(shù)	分組	頻數(shù)	頻率	光盤族占本組比例
第1組	[25，30）	50	0.05	30%
第2組	[30，35）	100	0.10	30%
第3組	[35，40）	150	0.15	40%
第4組	[40，45）	200	0.20	50%
第5組	[45，50）	a	b	65%
第6組	[50，55）	200	0.20	60%

（1）求a，b的值，并估計(jì)本社區(qū)[25，55）歲的人群中“光盤族”所占比例；
（2）從年齡段在[35，40）與[40，45）的“光盤族”中采用分層抽樣方法抽取8人參加節(jié)約糧食宣傳活動(dòng)，并從這8人中選取2人作為領(lǐng)隊(duì)．
（i）已知選取2人中1人來自[35，40）中的前提下，求另一人來自年齡段在[40，45）中的概率；
（ii）求2名領(lǐng)隊(duì)的年齡之和的期望值．（每個(gè)年齡段以中間值計(jì)算）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,分層抽樣方法

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)第一組人數(shù)為50，頻率為0.05，可得樣本數(shù)為

50

0.05

=1000，由此求得第五組的人數(shù)，可得第五組的頻率b，求出樣本中，“光盤族”的人數(shù)，可得社區(qū)[25，55]歲的人群中“光盤族”人數(shù)所占的比例．
（2）（i）用分層抽樣方法求出年齡段在[35，40）中抽取的人數(shù)和年齡段在[40，45）抽取的人數(shù)，由此利用條件概率公式能求出選取2人中1人來自[35，40）中的前提下，另一人來自年齡段[40，45）中的概率．
（ii）設(shè)2名領(lǐng)隊(duì)的年齡之和為X，則X的所有可能取值為75，80，85，分雖求出P（X=75），P（X=80），P（X=85），由此能求出2名領(lǐng)隊(duì)的年齡之和的期望值．

解答： 解：（1）由題意知第一組人數(shù)為50，頻率為0.05，
∴n=

50

0.05

=1000，
b=1-（0.20+0.20+0.10+0.05）=0.30，
∴a=1000×0.3=300．
∴樣本中的“光盤族”人數(shù)為：
50×30%+100×30%+150×40%+200×50%+300×65%+200×60%=520，
∴樣本中“光盤族”所點(diǎn)比例為

520

1000

=52%．
（2）（i）年齡段在[35，40）中的“光盤族”人數(shù)為150×40%=60人，
年齡在[40，45）中的“光盤族”人數(shù)為200×50%=100人，
采用分層抽樣方法抽取8人，其中年齡段在[35，40）中抽取

8

160

×60=3人，
年齡段在[40，45）中抽取

8

160

×100=5人，
設(shè)A表示“一人來自年齡段在[35，40）中”，B表示“另一人來自年齡段在[40，45）中”，
P（B/A）=

C 1 5

C 1 7

=

5

7

．
∴選取2人中1人來自[35，40）中的前提下，另一人來自年齡段[40，45）中的概率為

5

7

．
（ii）設(shè)2名領(lǐng)隊(duì)的年齡之和為X，則X的所有可能取值為75，80，85，
P（X=75）=

C 2 3

C 2 8

=

3

28

，
P（X=80）=

C 1 3 C 1 5

C 2 8

=

15

28

，
P（X=85）=

C 2 5

C 2 8

=

5

14

，
∴EX=75×

3

28

+80×

15

28

+85×

5

14

=81.25，
∴2名領(lǐng)隊(duì)的年齡之和的期望值為81.25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查統(tǒng)計(jì)表的用法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要注意條件概率和分層抽樣的合理運(yùn)用．