Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=|x²-a|-ax-1（a∈R）．
（I）若函數(shù)y=f（x）在R上恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （I）若函數(shù)y=f（x）在R上恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，討論a的范圍，結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求a的取值范圍；
（Ⅱ）根據(jù)一元二次函數(shù)的單調(diào)性和對稱性的關(guān)系，進(jìn)行求解即可．

解答 解：（I）若函數(shù)y=f（x）在R上恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，
則等價(jià)為f（x）=|x²-a|-ax-1=0，即|x²-a|=ax+1有四個(gè)不同的解，
若a≤0，則方程x²-a=ax+1至多有兩個(gè)根，不滿足條件
若a＞0，則y=x²-a與y=ax+1兩個(gè)圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
①當(dāng)y=ax+1與y=-x²+a相切時(shí)，得a=-2±2$\sqrt{2}$，（負(fù)值舍掉），
②當(dāng)y=ax+1過點(diǎn)（-$\sqrt{a}$，0）時(shí)，得a=1，∴2$\sqrt{2}$-2＜a＜1，
即a的取值范圍是（2$\sqrt{2}$-2，1）
（Ⅱ）①當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）=x²-ax-a-1=（x-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a-1，
則f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，則f（x）_min=f（1）=-2a．
②當(dāng)1＜a＜4時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}+a-1，}&{1≤x≤\sqrt{a}}\\{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-a-a，}&{\sqrt{a}＜x≤2}\end{array}\right.$，
易知f（x）在[1，$\sqrt{a}$]上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{a}$，2]上單調(diào)遞
則f（x）_min=f（$\sqrt{a}$）=-a$\sqrt{a}$-1，
③當(dāng)a≥4時(shí)，f（x）=-（x+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+a-1，
則f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
則f（x）_min=f（2）=-a-5，
綜上g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-2a，}&{a≤1}\\{-a\sqrt{a}-1，}&{1＜a＜4}\\{-a-5，}&{a≥4}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)一元二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．