Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，a：b=

2

：1，以原點為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與直線x+y-2=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于A，B，|AB|=

2 5

3

，設P為橢圓上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標原點），求實數t的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出a=

2

2

=

2

，且a：b=

2

：1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設直線AB方程：y=k（x-2），k≠0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標原點）的實數t的值．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，a：b=

2

：1，
以原點為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與直線x+y-2=0相切，
∴a=

2

2

=

2

，且a：b=

2

：1
解得a²=2，b²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1…（4分）
（2）由題意知，直線AB的斜率存在，
設直線AB方程：y=k（x-2）…（5分）
顯然，當k=0時，|AB|=2

2

與已知不符，所以k≠0…（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，k2＜

1

2

…（8分）
x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1•x2=

8k2-2

1+2k2

∵|AB|=

2 5

3

，∴

1+k2

|x1-x2|=

2 5

3

，
∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=

20

9

∴（4k²-1）（14k²+13）=0，即k2=

1

4

…（10分）
又∵（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），且k≠0，即t≠0
∴x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

y1+y2

t

=

1

t

[k(x1+x2)-4k]=

-4k

t(1+2k2)

，
∵點P在橢圓上，∴

(8k2)2

t2(1+2k2)2

+2•

(-4k)2

t2(1+2k2)2

=2，又k2=

1

4

．
解得t=±

2 6

3

．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數的求法，考查函數與方程思想、等價轉化思想，考查運算求解能力、推理論證能力．