Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-1+

a

x

（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值，求a的值；
（2）在（1）條件下，若函數(shù)g（x）=f（x）+b在（0，+∞）上有零點(diǎn)，求b的最大值；
（3）若f（x）在（1，2）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零列方程求a，但勿忘驗(yàn)證；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，最后利用極值的符號(hào)，端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)結(jié)合圖象來求解；
（3）即該函數(shù)在（1，2）上導(dǎo)數(shù)恒為正或恒為負(fù)，最終轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x-1-

a

x2

，又函數(shù)f（x）在x=1處有極值，
∴f'（1）=0，a=1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．
（2）g'（x）=e^x-1-

1

x2

，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x=1時(shí)，g'（x）=0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
∴g（x）在x=1時(shí)取得極小值g（1）=2+b，
依題意g（1）≤0，∴b≤-2，∴b的最大值為-2；
（3）f'（x）=e^x-1-

a

x2

，當(dāng)f （x）在（1，2）上單調(diào)遞增時(shí)，e^x-1-

a

x2

≥0在[1，2]上恒成立，
∴a≤x²e^x-1，令h（x）=x²e^x-1，則h'（x）=e^x-1（ x²+2 x）＞0在[1，2]上恒成立，即h（x） 在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴h（x） 在[1，2]上的最小值為h（1）=1，∴a≤1；
當(dāng)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減時(shí)，同理a≥x²e^x-1，
h（x）=x²e^x-1在[1，2]上的最大值為h（2）=4e，∴a≥4e；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤1或a≥4e；

點(diǎn)評：強(qiáng)調(diào)第一點(diǎn)，利用極值點(diǎn)處函數(shù)值求字母要驗(yàn)證，第二點(diǎn)，要準(zhǔn)確理解單調(diào)函數(shù)的概念，同時(shí)此類問題要轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題作為落腳點(diǎn)．