Question

在正方體ABCDA₁B₁C₁D₁中，M為DD₁的中點(diǎn)，O為四邊形ABCD的中心，P為棱A₁B₁上任一點(diǎn)，則異面直線(xiàn)OP與MA所成的角為

1. A.
   30°
2. B.
   45°
3. C.
   60°
4. D.
   90°

Answer 1

D
分析：根據(jù)題意，直線(xiàn)OP在點(diǎn)O與A₁B₁確定的平面內(nèi)．設(shè)點(diǎn)O與A₁B₁確定的平面為α，α∩AD=F且α∩BC=E，可得F、E為AD、BC的中點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)可得AM⊥A₁F，由A₁B₁⊥面ADD₁A₁可得A₁B₁⊥AM．因此AM⊥面A₁FEB₁，結(jié)合OP?面A₁FEB₁得AM⊥OP．由此即可得到異面直線(xiàn)OP與MA所成的角為90°．
解答：∵A₁B₁⊥面ADD₁A₁，AM?面ADD₁A₁，∴A₁B₁⊥AM．
設(shè)點(diǎn)O與A₁B₁確定的平面為α，α∩AD=F且α∩BC=E，則F、E為AD、BC的中點(diǎn)，
根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得AM⊥A₁F．
∵A₁F∩A₁B₁=A₁，A₁F、A₁B₁?平面面A₁FEB₁，∴AM⊥面A₁FEB₁，
又∵OP?面A₁FEB₁，∴AM⊥OP．
即直線(xiàn)OP與直線(xiàn)AM所成的角是90°．
故選：D
點(diǎn)評(píng)：本題在正方體中求異面直線(xiàn)所成角的大小，著重考查了線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)、正方體的結(jié)構(gòu)特征等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．