【題目】如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面平面，，.

（1）求二面角的余弦值；

（2）在線段是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）.（2）存在，值為

【解析】

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.

（2）首先利用求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由求得的值.

（1）因?yàn)?/span>為正方形，所以.

因?yàn)槠矫?/span>ABC⊥平面，且垂直于這兩個(gè)平面的交線，所以平面.由題知，，，所以.如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，則，，所以.

同理可得，平面的法向量為，所以.由題知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

（2）存在.設(shè)是直線上一點(diǎn)，且.所以.解得，，.

所以.

由，即.解得.

因?yàn)?/span>，所以在線段上存在點(diǎn)，

使得.此時(shí)，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（本小題滿分14分）已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓 相交于不同的兩點(diǎn)，．

（1）求圓的圓心坐標(biāo)；

（2）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線 與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且asin B＝－bsin.

(1)求A；

(2)若△ABC的面積S＝c2，求sin C的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的最小正周期；

（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）若把向右平移個(gè)單位得到函數(shù)，求在區(qū)間上的最小值和最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1．

（Ⅰ）若直線PB與CD所成角的大小為，求BC的長(zhǎng)；

（Ⅱ）求二面角B－PD－A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】從、、、這個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取個(gè)數(shù)，記所取的這個(gè)數(shù)的和為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）

A.事件“”的概率為

B.事件“”的概率為

C.事件“”與事件“”為互斥事件

D.事件“”與事件“”互為對(duì)立事件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】稱直角坐標(biāo)系中縱橫坐標(biāo)均為整數(shù)的 點(diǎn)為“格點(diǎn)”，稱一格點(diǎn)沿坐標(biāo)線到原點(diǎn)的最短路程為該點(diǎn)到原點(diǎn)的“格點(diǎn)距離”，格點(diǎn)距離為定值的點(diǎn)的軌跡稱為“格點(diǎn)圓”，該定值稱為格點(diǎn)圓的半徑，而每一條最短路程稱為一條半徑．當(dāng)格點(diǎn)半徑為2005時(shí)，格點(diǎn)圓的半徑有________條．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某網(wǎng)紅直播平臺(tái)為確定下一季度的廣告投入計(jì)劃，收集了近6個(gè)月廣告投入量（單位：萬(wàn)元）和收益（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下表：

月份

1

2

3

4

5

6

廣告投入量/萬(wàn)元

2

4

6

8

10

12

收益/萬(wàn)元

14.21

20.31

31.8

31.18

37.83

44.67

用兩種模型①，②分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值：

7

30

1464.24

364

（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說(shuō)明理由.

（2）殘差絕對(duì)值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除：

(i)剔除的異常數(shù)據(jù)是哪一組？

(ii)剔除異常數(shù)據(jù)后，求出（1）中所選模型的回歸方程；

(iii)廣告投入量時(shí)，(ii)中所得模型收益的預(yù)報(bào)值是多少？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為，防洪堤高記為（如圖），考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其斷面面積為平方米，為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省，則斷面的外周長(zhǎng)（）要最�。�

（1）用表示、；

（2）將表示成的函數(shù)，如限制在范圍內(nèi)，最小為多少米？并說(shuō)明理由．

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