Question

【題目】如圖，在三棱柱中，是邊長為4的正方形，平面平面，，.

（1）求二面角的余弦值；

（2）在線段是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）存在，值為

【解析】

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.

（2）首先利用求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由求得的值.

（1）因?yàn)?/span>為正方形，所以.

因?yàn)槠矫?/span>ABC⊥平面，且垂直于這兩個(gè)平面的交線，所以平面.由題知，，，所以.如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，則，，所以.

同理可得，平面的法向量為，所以.由題知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

（2）存在.設(shè)是直線上一點(diǎn)，且.所以.解得，，.

所以.

由，即.解得.

因?yàn)?/span>，所以在線段上存在點(diǎn)，

使得.此時(shí)，.