Question

在△ABC中，BC=

5

，sin(2A-

π

6

)-2sin2A=0．
（Ⅰ）求角A；           
（Ⅱ）設(shè)△ABC的面積為S，且S=

BA

•

BC

，求邊AC的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：sin(2A+

π

6

)-1=0，由A為△ABC的內(nèi)角可得答案．
（Ⅱ）由向量的數(shù)量積可得：

BC

•

BA

=

1

2

|BC|•|BA|•sinB，結(jié)合題意可得：cosB=

1

2

sinB，即可得到sinB=

2 5

5

．再根據(jù)正弦定理可得AC=4．

解答：解：（Ⅰ）由sin(2A-

π

6

)-2sin2A=0可得

3

2

sin2A+

1

2

cos2A=1，
所以sin(2A+

π

6

)-1=0，
∵A為△ABC的內(nèi)角，
∴A=

π

6

．…（6分）
（Ⅱ）由題意可得：S=

BC

•

BA

=|BC|•|BA|•cosB，
又因為

BC

•

BA

=

1

2

|BC|•|BA|•sinB，
所以cosB=

1

2

sinB，
又因為sin²B+cos²B=1
所以解得sinB=

2 5

5

．
在△ABC中，由正弦定理得

BC

sinA

=

AC

sinB

，即

5

sin π 6

=

AC

2 5 5

，
解得AC=4．…（12分）

點評：本題主要考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算與正弦定理，是一道綜合性較強(qiáng)的題型．