Question

已知函數(shù)f(x)=4x2+

1

x

，(x≠0)
（I）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（II）設函數(shù)g(x)=ax3+

1

x

，(a＞0)，若對于任意的x∈（0，2]，都有f（x）≥g（x）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先出函數(shù)的導函數(shù)，然后解不等式f'（x）＞0，求出的解集即為函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（II）對于任意的x∈（0，2]，都有f（x）≥g（x）成立即g(x)=ax3+

1

x

≤4x²+

1

x

在x∈（0，2]上恒成立，然后將a分離出來，使a小于等于

4

x

的最小值，即可求出a的范圍．

解答：解：（I）∵f(x)=4x2+

1

x

，(x≠0)
∴f'（x）=8x-

1

x2

令8x-

1

x2

＞0解得：x＞

1

2

∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間（

1

2

，+∞）
（II）∵對于任意的x∈（0，2]，都有f（x）≥g（x）成立
∴g(x)=ax3+

1

x

≤4x²+

1

x

在x∈（0，2]上恒成立
即a≤

4

x

而

4

x

在（0，2]上的最小值為2
∴0＜a≤2

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以及閉區(qū)間上的最值和恒成立等有關知識，屬于中檔題．