Question

如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A、OB為直徑作兩個(gè)半圓，在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，求此點(diǎn)取自陰影部分的概率．

Answer 1

分析：設(shè)OA=OB=2，兩個(gè)半圓的交點(diǎn)為C，且以AO為直徑的半圓以D為圓心，連結(jié)OC、CD．根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式算出S_弓形OMC=

π

4

-

1

2

，從而得到空白部分面積為S_空白=2，算出兩塊陰影部分面積之和為π．最后根據(jù)幾何概型計(jì)算公式，將所得陰影部分面積除以扇形OAB的面積，即可得到所求概率．

解答：解：如圖，設(shè)兩個(gè)半圓的交點(diǎn)為C，且以AO為直徑的半圓以D為圓心，連結(jié)OC、CD
設(shè)OA=OB=2，則弓形OMC的面積為
S_弓形OMC=S_扇形OCD-S_Rt△DCO=

1

4

•π•1²-

1

2

×1×1=

π

4

-

1

2

可得空白部分面積為S_空白=2（S_半圓AO-2S_弓形OMC）=2[

1

2

•π•1²-（

π

2

-1）]=2
因此，兩塊陰影部分面積之和為
S_陰影=S_扇形OAB-S_空白=

1

4

π•2²-2=π-2
可得在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自陰影部分的概率為P=

S陰影

S扇形AOB

=

π-2

π

=1-

2

π

答：在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為1-

2

π

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出扇形中的陰影部分，求相應(yīng)的概率，著重考查了扇形面積公式、組合圖形的面積計(jì)算和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．