Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄，a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R，當x=-1時，f（x）取得極大值

2

3

，且函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于點（-1，0）對稱．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）在函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在[-

2

，

2

]上？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設(shè)xn=

2n-1

2n

，  ym=

2 (1-3m)

3m

(m，n∈N*)，求證：|f(xn)-f(ym)|＜

4

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函數(shù)f（x），且函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于點（-1，0）對稱．所以y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，0）對稱，即y=f（x）是奇函數(shù)，所以f（x）=a₁x³+a₃x，由題意，得

f′(-1)=3a1+a3=0 f(-1)=-a1-a3= 2 3

?

a1= 1 3 a3=-1.

進而可得答案；
（Ⅱ）在函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在[-

2

，

2

]上？屬于探索性問題．通常假設(shè)存在，看是否有解即可．假設(shè)存在兩切點為(x1，f(x1))，(x2，f(x2))  (x1，x2∈[-

2

，

2

])，
則f'（x₁）•f'（x₂）=（x₁²-1）（x₂²-1）=-1．因為（x₁²-1）、（x₂²-1）∈[-1，1]
所以

x 2 1 -1=-1 x 2 2 -1=1

或

x 2 1 -1=1 x 2 2 -1=-1.

即

x1=0 x2=± 2

或

x1=± 2 x2=0

從而可得所求兩點的坐標分別為(0，0)，(

2

，-

2

3

)或(0，0)，(-

2

，

2

3

)．
（Ⅲ）設(shè)xn=

2n-1

2n

，  ym=

2 (1-3m)

3m

(m，n∈N*)，求證：|f(xn)-f(ym)|＜

4

3

．關(guān)鍵在理解題意上．只需要求出

f(xn)和f(ym)的最值即可．求最值當然要通過求導分析單調(diào)性，再看xn=

2n-1

2n

，  ym=

2 (1-3m)

3m

(m，n∈N*)，所屬范圍．再求．則易證|f(xn)-f(ym)|＜

4

3

．

解答：解：（Ⅰ）將y=f（x+1）的圖象向右平移1個單位，得到y(tǒng)=f（x）的圖象，
所以y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，0）對稱，即y=f（x）是奇函數(shù)，
所以f（x）=a₁x³+a₃x，由題意，得

f′(-1)=3a1+a3=0 f(-1)=-a1-a3= 2 3

?

a1= 1 3 a3=-1.

所以f(x)=

1

3

x3-x．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=x²-1，
假設(shè)存在兩切點為(x1，f(x1))，(x2，f(x2))  (x1，x2∈[-

2

，

2

])，
則f'（x₁）•f'（x₂）=（x₁²-1）（x₂²-1）=-1．因為（x₁²-1）、（x₂²-1）∈[-1，1]
所以

x 2 1 -1=-1 x 2 2 -1=1

或

x 2 1 -1=1 x 2 2 -1=-1.

即

x1=0 x2=± 2

或

x1=± 2 x2=0

從而可得所求兩點的坐標分別為(0，0)，(

2

，-

2

3

)或(0，0)，(-

2

，

2

3

)．
（Ⅲ）因為當x∈[

1

2

，1)時，f'（x）＜0，所以f（x）在[

1

2

，1)遞減．
由已知得xn∈[

1

2

，1)，
所以f(xn)∈(f(1)，f(

1

2

)]，即f(xn)∈(-

2

3

，-

11

24

]．
注意到x＜-1時，f′（x）＞0，-1＜x＜1時，f′（x）＜0，
故f（x）在（-∞，-1）上遞增，在（-1，1）上遞減，
由于y_m=

2

3m

-

2

，
所以ym∈(-

2

，-

2 2

3

]．
因為-

2

＜-1＜-

2 2

3

，
所以f(ym)∈(f(-

2

)，f(-1)]，
即f(ym)∈(

2

3

，

2

3

]．
所以|f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)＜

2

3

-(-

2

3

)=

4

3

．

點評：這種題型屬于較難的壓軸題．關(guān)鍵在挖掘題意上做文章．