Question

A是定義在［2,4］上且滿足如下條件的函數(shù)φ(x)組成的集合：①對任意的x∈［1,2］，都有φ(2x)∈(1,2)；②存在常數(shù)L(0＜L＜1)，使得對任意的x₁,x₂∈［1,2］，都有|φ(2x₁)-φ(2x₂)|≤L|x₁-x₂|.

(Ⅰ)設(shè)φ(x)=,x∈［2,4］，證明：φ(x)∈A.

(Ⅱ)設(shè)φ(x)∈A，如果存在x₀∈(1,2)，使得x₀=φ(2x₀)，那么這樣的x₀是唯一的.

(Ⅲ)設(shè)φ(x)∈A，任取x₁∈(1,2)，令x_n+1=φ(2x_n)，n=1,2，…，證明：給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p，成立不等式|x_k+p-x_k|≤|x₂-x₁|.

Answer 1

思路分析：根據(jù)已知條件中存在常數(shù)L(0＜L＜1)，使得對任意的x₁,x₂∈［1,2］，都有|φ(2x₁)-φ(2x₂)|≤L|x₁-x₂|，可以猜想用到放縮法，又由于

3＜，

0＜,

所以問題得證.第二小題中出現(xiàn)了唯一性問題，可考慮用反證法.第三小題仍考慮用放縮法較好.

證明：(Ⅰ)對任意x∈［1，2］,

φ(2x)=,x∈［1,2］,≤φ(2x)≤,1＜＜＜2,

所以φ(2x)∈(1,2)；

對任意的x₁,x₂∈［1,2］,

|φ(2x₁)-φ(2x₂)|=|x₁-x₂|，

3＜，

所以0＜,

令=L,0＜L＜1,|φ(2x₁)-φ(2x₂)|≤L|x₁-x₂|,

所以φ(x)∈A.

(Ⅱ)反證法:設(shè)存在兩個x₀,x₀′∈(1,2),x₀≠x₀′,使得x₀=φ(2x₀),x₀′=φ(2x₀′),則

由|φ(2x₀)-φ(2x₀′)|≤L|x₀-x₀′|，得|x₀-x₀′|≤L|x₀-x₀′|，所以|x₀-x₀′|=0，矛盾，故結(jié)論成立.

(Ⅲ)|x₃-x₂|=|φ(2x₂)-φ(2x₁)|≤L|(x₂-x₁)|,所以|x_n+1-x_n|≤L^n-1|x₂-x₁|,

|x_k+p-x_k|=|(x_k+p-x_k+p-1)+(x_k+p-1-x_k+p-2)+…+(x_k+1-x_k)|≤|x₂-x₁|

≤|x_k+p-x_k+p-1|+|x_k+p-1-x_k+p-2|+…+|x_k+1-x_k|≤L^k+p-2|x₂-x₁|+L^k+p-3|x₂-x₁|+…+L^k-1|x₂-x₁|≤|x₂-x₁|.