Question

已知函數(shù)g（x）=e^x-1-ax，a∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）若a=1，求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)f(x)=g(x)-

x2

2

-

x3

6

，若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)代入到g（x）的解析式中，求導(dǎo)，分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0，求出單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)f（x）求導(dǎo)，得到f′(x)=ex-a-x-

x2

2

，再次求導(dǎo)，得到f″（x）=e^x-1-x，由（1）知，當(dāng)x≥0時(shí)，f″（x）≥0，從而得到f′（x）在[0，+∞）上為單增函數(shù)，亦有f′（x）_min=f′（0）=1-a，然后只需分成1-a≥0和1-a＜0兩種情況討論分析即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=e^x-1-x，則g′（x）=e^x-1，
令g′（x）＞0，即e^x-1＞0，x＞0；令g′（x）＜0，即e^x-1＜0，x＜0，
∴g（x）的單調(diào)増區(qū)間是（0，+∞），g（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）．
（2）由題可得，f（x）=ex-1-ax-

x2

2

-

x3

6

，則當(dāng)x≥0時(shí)，ex-1-ax-

x2

2

-

x3

6

≥0恒成立，
f′(x)=ex-a-x-

x2

2

，f″（x）=e^x-1-x，
由（1）知，f″（x）在[0，+∞）上為單增函數(shù)，且f″（x）=0，
得，當(dāng)x≥0時(shí)，f″（x）≥0，即f′（x）在[0，+∞）上為單增函數(shù)，
∴f′（x）_min=f′（0）=1-a，
①當(dāng)1-a≥0時(shí)，f′（x）≥1-a≥0，從而f（x）在[0，+∞）上為單增函數(shù)，又f（0）=0，即當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0恒成立，滿足題意；
②當(dāng)1-a＜0時(shí)，f′（x）_min＜0，結(jié)合著f′（x）的性質(zhì)，即f′（x）在[0，+∞）上為單增函數(shù)及當(dāng)x→+∞時(shí)，f′（x）→+∞，可知，
必存在一個(gè)x₀＞0，且f（x₀）=0，則當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，f′（x）＜0，即當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，f（x）為單減函數(shù)，即f（x）＜f（0）=0，顯然，不合題意．
綜上所述，a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題第二問(wèn)的求解中，需要對(duì)導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)來(lái)解決問(wèn)題．學(xué)生在處理時(shí)，需要很清楚的把握原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的單調(diào)性，一層一層剖析轉(zhuǎn)化，最終達(dá)到題目中的要求，即“當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0恒成立”．