已知m>1,直線l:x-my-
m2
2
=0,橢圓C:
x2
m2
+y2=1,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點.
(Ⅰ)當直線l過右焦點F2時,求直線l的方程;
(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點,△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)把F2代入直線方程求得m,則直線的方程可得.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2).直線與橢圓方程聯(lián)立消去x,根據(jù)判別式大于0求得m的范圍,且根據(jù)韋達定理表示出y1+y2和y1y2,根據(jù)
AG
=2
GO
,
BH
=2
H0
,可知G(
x1
3
y1
,3
),h(
x2
3
,
y,2
,3
),表示出|GH|2,設M是GH的中點,則可表示出M的坐標,進而根據(jù)2|MO|<|GH|整理可得x1x2+y1y2<0把x1x2和y1y2的表達式代入求得m的范圍,最后綜合可得答案.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)解:因為直線l:x-my-
m2
2
=0,經(jīng)過F2
m2-1
,0),
所以
m2-1
=
m2
2
,得m2=2,
又因為m>1,所以m=
2
,
故直線l的方程為x-
2
y-1=0.
(Ⅱ)解:設A(x1,y1),B(x2,y2).
x=my+
m2
2
x2
m2
+y2=1
,消去x得
2y2+my+
m2
4
-1=0
則由△=m2-8(
m2
4
-1)=-m2+8>0,知m2<8,
且有y1+y2=-
m
2
,y1y2=
m2
8
-
1
2

由于F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),故O為F1F2的中點,
AG
=2
GO
BH
=2
H0
,可知G(
x1
3
,
y1
,3
),H(
x2
3
,
y2
3

|GH|2=
(x1-x2)2
9
+
(y1-y2)2
9

設M是GH的中點,則M(
x1+x2
6
,
y1+y2
6
),
由題意可知2|MO|<|GH|
即4[(
x1+x2
6
2+(
y1+y2
6
2]<
(x1-x2)2
9
+
(y1-y2)2
9
即x1x2+y1y2<0
而x1x2+y1y2=(my1+
m2
2
)(my2+
m2
2
)+y1y2=(m2+1)(
m2
8
-
1
2

所以(
m2
8
-
1
2
)<0,即m2<4
又因為m>1且△>0
所以1<m<2.
所以m的取值范圍是(1,2).
點評:本題主要考查橢圓的幾何性質,直線與橢圓,點與圓的位置關系等基礎知識,同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知m>1,直線l:x-my-
m
2
2
=0,橢圓C:
x2
m2
+y2
=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓C的左右焦點.設直線l與橢圓C交于A、B兩點,△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G,H,若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.

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m2
2
=0,橢圓C:
x2
m2
+y2=1,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點.
(I)當直線l過右焦點F2時,求直線l的方程;
(II)當直線l與橢圓C相離、相交時,求m的取值范圍;
(III)設直線l與橢圓C交于A、B兩點,△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.

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(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點,△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.

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