Question

已知曲線(xiàn)y=x³-8x+2
（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)x=0處的切線(xiàn)方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)l：y=kx，求切線(xiàn)方程．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)即斜率，易求切線(xiàn)方程．
（2）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則直線(xiàn)l的斜率為f'（x₀）=3x₀²-8，從而求得直線(xiàn)l的方程，由條件直線(xiàn)1過(guò)原點(diǎn)可求解切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線(xiàn)1的方程．

解答：解：（1）∵f'（x）=（x³-8x+2）'=3x²-8，
∴在點(diǎn)x=0處的切線(xiàn)的斜率k=f^′（0）=-8，且f（0）=2，
∴切線(xiàn)的方程為y=-8x+2．
（2）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則直線(xiàn)l的斜率為f'（x₀）=3x₀²-8，
∴直線(xiàn)l的方程為y=（3x₀²-8）（x-x₀）+x₀³-8x₀+2．
又∵直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（0，0），∴0=（3x₀²-8）（-x₀）+x₀³-8x₀+2，
整理，得x₀³=-1，∴x₀=-1，直線(xiàn)l的斜率k=3×（-1）²-8=-5，
∴直線(xiàn)l的方程為y=-5x．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)的切線(xiàn)方程，是一道綜合題．學(xué)生在解決此類(lèi)問(wèn)題一定要分清“在某點(diǎn)處的切線(xiàn)”，還是“過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)”；同時(shí)解決“過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)”問(wèn)題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)解決．