Question

3．某市規(guī)定，高中學生三年在校期間參加不少于₈₀小時的社區(qū)服務才合格．教育部門在全市隨機抽取200位學生參加社區(qū)服務的數(shù)據(jù)，按時間段，[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）[95，100]，（單位：小時）進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示．

（1）求抽取的200位學生中，參加社區(qū)服務時間不少于90小時的學生人數(shù)，并估計從全市高中學生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務時間不少于90小時的概率；
（2）從全市高中學生（人數(shù)很多）中任意選取3位學生，記ξ為3位學生中參加社區(qū)服務時間不少于90小時的人數(shù)．試求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ和方差Dξ．

Answer 1

分析 （1）分別求出參加社區(qū)服務時間在時間段[90，95）小時的學生人數(shù)和參加社區(qū)服務時間在時間段[95，100]小時的學生人數(shù)，由此能求出從全市高中學生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務時間不少于90小時的概率．
（2）從全市高中生中任意選取1人，其參加社區(qū)服務時間不少于90小時的概率為$\frac{2}{5}$．由已知得，隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，ξ～$B（3，\frac{2}{5}）$，由此能求出隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ和方差Dξ．

解答 解：（1）根據(jù)題意，參加社區(qū)服務時間在時間段[90，95）小時的學生人數(shù)為0.060×5×200=60（人），
參加社區(qū)服務時間在時間段[95，100]小時的學生人數(shù)為0.020×5×200=20（人）．
所以抽取的200位學生中，參加社區(qū)服務時間不少于90小時的學生人數(shù)為80人．
所以從全市高中學生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務時間不少于90小時的概率為
$P=\frac{60+20}{200}=\frac{80}{200}=\frac{2}{5}$．
（2）由（1）可知，從全市高中生中任意選取1人，其參加社區(qū)服務時間不少于90小時的概率為$\frac{2}{5}$．
由已知得，隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3．
所以$P（ξ=0）=C_3^0{（\frac{2}{5}）^0}•{（\frac{3}{5}）^3}=\frac{27}{125}$，
$P（ξ=1）=C_3^1{（\frac{2}{5}）^1}•{（\frac{3}{5}）^2}=\frac{54}{125}$，
$P（ξ=3）=C_3^3{（\frac{2}{5}）^3}•{（\frac{3}{5}）^0}=\frac{8}{125}$．
隨機變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

因為ξ～$B（3，\frac{2}{5}）$，
所以$Eξ=np=3×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$．Dξ=3×$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{18}{25}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．