Question

已知數(shù)列{a_n}的前n和S_n滿足且a₁=1；數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₄a_n
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明{b_n}為等差數(shù)列；
（3）數(shù)列{c_n}滿足c₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)有問是否存在最小的正整數(shù)t使得對任意的正整數(shù)n都成立，若存在求出，若不存在說明理由？

Answer 1

解：（1）a_n+1=3S_n+1…①
當(dāng)n≥2時(shí)有a_n=3S_n-1+1…②
由①-②整理得…（2分）
∵a₂=3a₁+1=4∴
∴{a_n}是以a₁=1，公比q=4的等比數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為…（4分）
（2）證明：∵為常數(shù)
且b₁=0
∴{b_n}是以b₁=0，公比d=1為等差數(shù)列…（7分）
（3）由（2）知b_n=n-1
當(dāng)n≥2時(shí)有…（9分）
∴=
∵∴
即…（11分）
∴存在最小的正整數(shù)t=5使得對任意的正整數(shù)n都成立…（12分）
分析：（1）由a_n+1=3S_n+1可得當(dāng)n≥2時(shí)有a_n=3S_n-1+1，兩式相減整理得，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（2）由等差數(shù)列的定義可知只要證出b_n+1-b_n為常數(shù)即可
（3）由（2）知，當(dāng)n≥2時(shí)有，利用裂項(xiàng)可求和，可求
點(diǎn)評：本題主要考查了由數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解通項(xiàng)及等差熟練地的定義在等差數(shù)列的判斷或證明中的應(yīng)用，裂項(xiàng)求和是求解（3）的關(guān)鍵