(本小題10分)已知向量=(1+cosB,sinB)且與向量=(0,1)所成的角為,其中A、B、C為ΔABC的三個內角。
(1)求角B的大;(2)若AC=,求ΔABC周長的最大值。
(1)B=。(2)ΔABC的周長的最大值為
.解:法(1):①∵=(1+cosB,sinB)與=(0,1)所成的角為
與向量=(1,0)所成的角為                             
,即                            (2分)
而B∈(0,π),∴,∴,∴B=。                (4分)
②令AB=c,BC=a,AC=b
∵B=,∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=,∵a,c>0。            (6分)
∴a2+c2,ac≤   (當且僅當a=c時等號成立)
∴12=a2+c2-ac≥                        (8分)
∴(a+c)2≤48,∴a+c≤,∴a+b+c≤+=(當且僅當a=c時取等號)
故ΔABC的周長的最大值為。                                 (10分)
法2:(1)cos<,>=cos
,                                              (2分)
即2cos2B+cosB-1=0,∴cosB=或cosB=-1(舍),而B∈(0,π),∴B= (4分)
(2)令AB=c,BC=a,AC=b,ΔABC的周長為,則=a+c+
而a=b·,c=b·                                     (2分)
==
=                  (8分)
∵A∈(0,),∴A-
當且僅當A=時,。                           (10分)
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