Question

17．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=60°，M為CD的中點，若N為該菱形內(nèi)任意一點（含邊界），則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的最大值為9．

Answer 1

分析 先以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，求出其它各點的坐標，然后利用點的坐標表示出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$，把所求問題轉(zhuǎn)化為在平面區(qū)域內(nèi)求線性目標函數(shù)的最值問題求解即可．

解答 解：如圖，
以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，由于菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=60°，M為CD的中點，故點A（0，0），則B（2，0），C（3，$\sqrt{3}$），D（1，$\sqrt{3}$），M（2，$\sqrt{3}$）．
設(shè)N（x，y），N為菱形內(nèi)（包括邊界）一動點，對應(yīng)的平面區(qū)域即為菱形ABCD及其內(nèi)部區(qū)域．
∵$\overrightarrow{AM}$=（2，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AN}$=（x，y），則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=2x+$\sqrt{3}$y，
令z=2x+$\sqrt{3}$y，則y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}z$，
由圖象可得當目標函數(shù)z=2x+$\sqrt{3}$y 過點C（3，$\sqrt{3}$）時，z=2x+$\sqrt{3}$y取得最大值，
此時z=2×3+$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=9．
故答案為：9．

點評 本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是對基礎(chǔ)知識和基本思想的考查，屬于中檔題．