Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1
（1）求函數(shù)f（x）的極值點．
（2）若f（x）≤0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍．
（3）證明：

ln2

3

+

ln3

8

+

ln4

15

+…+

lnn

n2-1

＜

(n+4)(n-1)

6

（n∈N，n＞1）．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=

1

x-1

-k，當(dāng)k≤0時，由 x-1＞0，得 f′（x）＞0，則f（x） 在（1，+∞）上是增函數(shù)，f（x）在（1，+∞）上無極值點．當(dāng) k＞0時，有倒數(shù)的符號可得f（x）在∈（1，1+

1

k

 ）上是增函數(shù)，f（x）在∈（1+

1

k

，+∞）  上是減函數(shù)，故 x=1+

1

k

 時，f（x）取得極大值．
（2）由 1）可知只需考慮k＞0，f（x）_max=f（1+

1

k

 ）=-lnk≤0即可，化簡得：k≥1．
（3）由2）知，當(dāng)k=1時，lnx＜x-1，x＞1，可得lnn³＜n³-1=（n-1）（n²+n+1）＜（n-1）（n+1）²，故

lnn

n2-1

＜

n+1

3

，故 

ln2

3

+

ln3

8

+

ln4

15

+…+

lnn

n2-1

＜

1

3

 （3+4+5+…+n+1）=

1

3

×

(3+n+1)

2

（n-1），從而得出結(jié)果．

解答：解：（1）f（x）的定義域為（1，+∞），f′（x）=

1

x-1

-k．
當(dāng)k≤0時，∵x-1＞0，∴f′（x）＞0，則f（x） 在（1，+∞）上是增函數(shù)．
f（x）在（1，+∞）上無極值點．
當(dāng) k＞0時，令f′（x）=0，則 x=1+

1

k

． 所以當(dāng)x∈（1，1+

1

k

 ）時，f′（x）=

1

x-1

-k＞

1

1+ 1 k -1

-k=0，
∴f（x）在∈（1，1+

1

k

 ）上是增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1+

1

k

，+∞） 時，f′（x）=

1

x-1

-k＜

1

1+ 1 k -1

-k=0，∴f（x）在∈（1+

1

k

，+∞）  上是減函數(shù)．
∴x=1+

1

k

 時，f（x）取得極大值． 
綜上可知，當(dāng) k≤0時，f（x）無極值點；  當(dāng)k＞0時，f（x）有唯一極值點 x=1+

1

k

．
（2）由1）可知，當(dāng)k≤0時，f（2）=1-k＞0，f（x）≤0 不成立．
故只需考慮k＞0．
由1）知，f（x）_max=f（1+

1

k

 ）=-lnk，
若f（x）≤0 恒成立，只需 f（x）_max=f（1+

1

k

 ）=-lnk≤0 即可，
化簡得：k≥1．所以，k 的取值范圍是[1，+∞）．
3）由2）知，當(dāng)k=1時，lnx＜x-1，x＞1．
∴l(xiāng)nn³＜n³-1=（n-1）（n²+n+1）＜（n-1）（n+1）²．
∴

lnn

n2-1

＜

n+1

3

，n∈N，n＞1．
∴

ln2

3

+

ln3

8

+

ln4

15

+…+

lnn

n2-1

＜

1

3

 （3+4+5+…+n+1）=

1

3

×

(3+n+1)

2

（n-1）
=

(n+4)(n-1)

6

，n∈N，n＞1．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，函數(shù)的恒成立問題，不等式的證明，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，不等式的放縮，是解題的難點．