Question

6．直線l₁，l₂，l₃相交于A（2，5），B（-2，1），C（8，-3）．如圖所示：
（1）用不等式組表示圖中的陰影部分；
（2）設(shè)目標(biāo)函數(shù)為z=3x-4y，圖中的陰影部分是對(duì)x，y的約束條件，求在此約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值；
（3）設(shè)目標(biāo)函數(shù)為z=3x+4y，圖中的陰影部分是對(duì)x，y的約束條件，求在此約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出三條直線的方程，根據(jù)特殊點(diǎn)坐標(biāo)驗(yàn)證得出不等式的符號(hào)；
（2）由z=3x-4y得y=$\frac{3}{4}x-\frac{z}{4}$，根據(jù)可行域與直線的斜率判斷最優(yōu)解的位置；
（3）由z=3x+4y得y=-$\frac{3}{4}x+\frac{z}{4}$，根據(jù)可行域與直線的斜率判斷最優(yōu)解的位置．

解答 解：（1）直線AB的方程為$\frac{y-1}{4}=\frac{x+2}{4}$，即x-y+3=0，
直線AC的方程為$\frac{y+3}{8}=\frac{x-8}{-6}$，即4x+3y-23=0，
直線BC的方程為$\frac{y-1}{-4}=\frac{x+2}{10}$，即2x+5y-1=0．
∵可行域在直線AB，AC的下方，在直線BC的上方，
∴可行域的約束條件為$\left\{\begin{array}{l}{x-y+3≥0}\\{4x+3y-23≤0}\\{2x+5y-1≥0}\end{array}\right.$．
（2）由z=3x-4y得y=$\frac{3}{4}x-\frac{z}{4}$，由可行域可知，當(dāng)直線y=$\frac{3}{4}x-\frac{z}{4}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，5）時(shí)截距最大，即z取得最小值，
當(dāng)直線y=$\frac{3}{4}x-\frac{z}{4}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（8，-3）時(shí)截距最小，即z取得最大值．
∴z的最小值為3×2-4×5=-14，z的最大值為3×8-4×（-3）=36．
（3）由z=3x+4y得y=-$\frac{3}{4}x+\frac{z}{4}$，由可行域可知，當(dāng)直線y=-$\frac{3}{4}x+\frac{z}{4}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，5）時(shí)截距最大，即z取得最大值，
當(dāng)直線y=-$\frac{3}{4}x+\frac{z}{4}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-2，1）時(shí)截距最小，即z取得最小值．
∴z的最大值為3×2+4×5=26，z的最小值為3×（-2）+4×1=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，根據(jù)可行域判斷最優(yōu)解的位置是解題關(guān)鍵．