Question

5．?dāng)?shù)列{a_n}是遞減的等差數(shù)列，{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且S₆=S₉，有以下四個(gè)結(jié)論：
①a₈=0； 
②若對(duì)任意n∈N₊，都有S_n≤S_k成立，則k的值等于7或8時(shí)；
③存在正整數(shù)k，使S_k=0；
④存在正整數(shù)m，使S_m=S_2m．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由S₆=S₉，得到a₇+a₈+a₉=0，利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)，得到a₈=0，進(jìn)而得到選項(xiàng)①正確；再由數(shù)列{a_n}是遞減的等差數(shù)列以及a₈=0，可得出當(dāng)n等于7或8時(shí)，s_n取最大值，選項(xiàng)②正確；利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出S₁₅，利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)后，將a₈的值代入可得出S₁₅=0，故存在正整數(shù)k，使S_k=0，選項(xiàng)③正確；當(dāng)m=5時(shí)，表示出S₁₀-S₅，利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)后，將a₈=0代入可得出S₁₀-S₅=0，即S₁₀=S₅ ，故存在正整數(shù)m，使S_m=S_2m，選項(xiàng)④正確．

解答 解：∵S₆=S₉，
∴a₇+a₈+a₉=0，
由等差數(shù)列性質(zhì)得：3a₈=0，可得：a₈=0，選項(xiàng)①正確；
∵數(shù)列{a_n}是遞減的等差數(shù)列，由已知a₁＞a₂＞…a₇＞a₈=0＞a₉…，
∴當(dāng)n等于7或8時(shí)，s_n取最大值，選項(xiàng)②正確；
∵a₈=0，則S₁₅=$\frac{1}{2}$（a₁+a₁₅）×15=15a₈=0，
∴存在正整數(shù)k=15，使s_k=0，選項(xiàng)③正確；
由等差數(shù)列性質(zhì)，S₁₀-S₅=a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀=5a₈=0，即S₁₀=S₅ ，
∴存在正整數(shù)m=5，使s_m=s_2m，選項(xiàng)④正確，
則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②③④．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，利用了等量代換、以及整體代入的思想．利用a₈=0這一特殊項(xiàng)盤(pán)活了整個(gè)等量代換過(guò)程，故根據(jù)題意得出a₈=0是解本題的關(guān)鍵．