Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），對(duì)于任意正實(shí)數(shù)m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求f(

1

2

)的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求方程4sinx=f（x）的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令m=2，n=

1

2

，即可求出f(

1

2

)的值；
（2）先在定義域內(nèi)任取兩個(gè)值x₁，x₂，并規(guī)定大小，然后判定出f（x₁），與f（x₂）的大小關(guān)系，根據(jù)單調(diào)增函數(shù)的定義可知結(jié)論；
（3）分別畫(huà)出y=4sinx的圖象與y=f（x）的圖象，結(jié)合圖象以及函數(shù)的單調(diào)性判定出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．

解答：解：（1）令m=n=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令m=2，n=

1

2

，則f(1)=f(2×

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)，
∴f(

1

2

)=f(1)-f(2)=-1（4分）

（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0
∴f(

x2

x1

)＞0（6分）
f(x2)=f(x1×

x2

x1

)=f(x1)+f(

x2

x1

)＞f(x1)（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)（10分）

（3）∵y=4sinx的圖象如右圖所示
又f（4）=f（2×2）=2，f（16）=f（4×4）=4
由y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
且f（1）=0，f（16）=4可得y=f（x）的圖象大致形狀如右圖所示，
由圖象在[0，2π]內(nèi)有1個(gè)交點(diǎn)，
在（2π，4π]內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，
在（4π，5π]內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，又5π＜16＜6π，
后面y=f（x）的圖象均在y=4sinx圖象的上方．
故方程4sinx=f（x）的根的個(gè)數(shù)為5個(gè)（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．