Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為DD₁，BD的中點(diǎn)．求證：
（1）求直線AE與平面BDD₁B₁所成角的正弦值；
（2）EF⊥B₁C．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AE與平面BDD₁B₁所成角的正弦值．
（2）求出

EF

=（1，1，1），

B1C

=（-2，0，2），利用向量法能證明EF⊥B₁C．

解答： 證明：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，
A（2，0，0），E（0，0，1），D（0，0，0），
B（2，2，0），D₁（0，0，2），

AE

=（-2，0，1），

DD1

=（0，0，2），

DB

=（2，2，0），
設(shè)平面DBD₁的法向量

n

=（x，y，z），

n • DD1 =2z=0 n • DB =2x+2y=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，0），
設(shè)直線AE與平面BDD₁B₁所成角為θ，
sinθ=|cos＜

AE

，

n

＞|=|

-2

5 × 2

|=

10

5

．
∴直線AE與平面BDD₁B₁所成角的正弦值為

10

5

．
（2）E（0，0，1），F(xiàn)（1，1，0），

EF

=（1，1，1），
B₁（2，2，2），C（0，2，0），

B1C

=（-2，0，2），
∴

EF

•

B1C

=-4+0+4=0，
∴EF⊥B₁C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查異面直線垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．