Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-ax+1）•x^b，x∈[1，+∞）．
（1）若a=4，b=0時(shí)，求f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域；
（2）若a=-1，b=-1時(shí)，判斷并證明f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出a=4，b=0時(shí)的f（x）解析式，配方，考慮對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到值域；
（2）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明，注意取值、作差、變形、定符號(hào)和下結(jié)論幾個(gè)步驟．

解答： 解：（1）若a=4，b=0時(shí)，f（x）=x²-4x+1=（x-2）²-3，
∵x∈[0，3]，∴當(dāng)x=2時(shí)f（x）有最小值為-3；當(dāng)x=0時(shí)f（x）有最大值為1，
∴f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域是[-3，1]；
（2）當(dāng)a=-1，b=-1時(shí)，f(x)=

x2+x+1

x

=x+1+

1

x

=x+

1

x

+1，
設(shè)x₁，x₂是[1，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)+

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)，
因?yàn)?≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0，又x₁＜x₂，
∴

1

x1x2

＜1∴1-

1

x1x2

＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．