Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=256，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n，S_n+2，S_n+1成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）用Π_n表示{a_n}的前n項(xiàng)之積，即Πn=a₁•a₂…a_n，試比較Π₇、Π₈、Π₉的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）解法一：∵S_n+1=S_n+a_n+1，S_n+2=S_n+a_n+1+a_n+2，
由已知2S_n+2=S_n+S_n+1，…（4分）
得：2（S_n+a_n+1+a_n+2）=S_n+（S_n+a_n+1），∴，∴{a_n}的公比．…（8分）
解法二：由已知2S_n+2=S_n+S_n+1，…（2分）
當(dāng)q=1時(shí)，S_n+2=（n+2）a₁，S_n+1=（n+1）a₁，S_n=na₁，
則2（n+2）a₁=（n+1）a₁+na₁，?a₁=0與{a_n}為等比數(shù)列矛盾； …（4分）
當(dāng)q≠1時(shí)，則，
化簡(jiǎn)得：2qⁿ⁺²=qⁿ+qⁿ⁺¹，∵qⁿ≠0，∴2q²=1+q，∴…（8分）
（Ⅱ）∵，則有：a₂=-2⁷，a₃=2⁶，a₄=-2⁵，a₅=2⁴，a₆=-2³，a₇=2²，a₈=-2，a₉=1，…∴Π₇＜0…（11分）Π₈=Π₉＞0…（13分）∴Π₇＜Π₈=Π₉…（14分）
分析：（Ⅰ）解法一：由S_n+1=S_n+a_n+1，S_n+2=S_n+a_n+1+a_n+2，可得2S_n+2=S_n+S_n+1，即可得，從而可求等比數(shù)列的公比q
解法二：由已知2S_n+2=S_n+S_n+1，
分類討論：q=1時(shí)及q≠1時(shí)，分別利用等比數(shù)列的求和公式代入已知可求q
（Ⅱ）由（1）可知，則通過(guò)計(jì)算可知Π₇＜0，，Π₈=Π₉＞0．從而可比較
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式轉(zhuǎn)化數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系及等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用（求和公式中要注意公比q=1時(shí)的情況是解題中容易漏掉的）．