Question

（2012•南寧模擬）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為，已知a₁=1，Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*)，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若bn=

n

an+1-an

，數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和為T_n，n∈N^*證明：T_n＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*)，得當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2S_n-1+n，兩式相減得，a_n+1=2a_n+1，構(gòu)造等比數(shù)列{a_n+1}并求其通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）b_n=

n

(2n+1-1)-(2n-1)

=

n

2n+1-2n

=

n

2n

，利用錯(cuò)位相消法求和．

解答：解：（Ⅰ）∵Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*)
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2S_n-1+n，兩式相減得，
a_n+1=2a_n+1，兩邊加上1得出a_n+1+1=2（a_n+1），
又S₂=2S₁+1，a₁=S₁=1，∴a₂=3，a₂+1=2（a₁+1）
所以數(shù)列{a_n+1}是公比為2的等比數(shù)列，首項(xiàng)a₁+1=2，
數(shù)列{a_n+1}的通項(xiàng)公式為a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1  
（Ⅱ）∵a_n=2ⁿ-1，
∴b_n=

n

(2n+1-1)-(2n-1)

=

n

2n+1-2n

=

n

2n

T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…  +

n

2n

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+…+ 

n-1

2n

+

n

2n+1

兩式相減得

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

T_n=2（

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

）=2-

1

2n-1

-

n

2n

＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解：利用了a_n與Sn關(guān)系以及構(gòu)造法．形如a_n+1=pa_n+q遞推數(shù)列，這種類型可轉(zhuǎn)化為a_n+1+m=4（a_n+m）構(gòu)造等比數(shù)列求解．還考查錯(cuò)位相消法求和．