Question

8．記z=x+ky+1，（k∈R），其中x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{x-2y+2≥0}\\{x+y-1≥0}\end{array}\right.$，若z的最大值為3，則實(shí)數(shù)k的值為0，z的最小值為1．

Answer 1

分析 作出可行域，根據(jù)z的最大值為3，判斷目標(biāo)函數(shù)的斜率得出k的值，根據(jù)可行域得出最優(yōu)解的位置，計(jì)算z的最小值．

解答 解：作出約束條件的可行域，如圖所示：

（1）若k=0，則z=x+1，顯然當(dāng)x=2時(shí)z取得最大值3，符合題意，此時(shí)，當(dāng)x=0時(shí)，z取得最小值1．
（2）若k≠0，由z=x+ky+1得y=-$\frac{1}{k}x+\frac{z-1}{k}$．
①若k＞0，則當(dāng)直線y=-$\frac{1}{k}x+\frac{z-1}{k}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，2）時(shí)，直線截距最大，即z最大．
∴3=2+2k+1，解得k=0（舍），
②若k＜0，則當(dāng)-$\frac{1}{k}$≤2即k≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，直線y=-$\frac{1}{k}x+\frac{z-1}{k}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，0）時(shí)，直線截距最小，即z最大．
∴3=1+0×k+1，無(wú)解．
當(dāng)-$\frac{1}{k}$≥2即-$\frac{1}{2}≤$k＜0時(shí)，直線y=-$\frac{1}{k}x+\frac{z-1}{k}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，2）時(shí)，直線截距最小，即z最大
∴3=2+2k+1，解得k=0（舍）．
綜上，k=0，z的最小值為1．
故答案為0，1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，根據(jù)可行域判斷最優(yōu)解的位置是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．